Suma de Riemann

Si P = { x 0 , x 1 , x 2 , ..., x n } es una partición del intervalo cerrado [a, b] y f es una función definida en ese intervalo, entonces la Suma de Riemann de f respecto de la partición P se define como:

 

R(f, P) =   f(t j ) (x j - x j-1 )

donde t j es un número arbitrario en el intervalo [x j-1 , x j ].

la suma de Riemann corresponde geométricamente con la suma
de las áreas de los rectángulos con base x j - x j-1 y altura f(t j ) .

 

Suma de Riemann superior e inferior.

Sea P = { x 0 , x 1 , x 2 , ..., x n } una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo.

Entonces:

  • La suma superior de f respecto de la partición P se define así:

 
S(f, P) =  c j (x j - x j-1 )
donde c j es el supremo de f(x) en el intervalo [x j-1 , x j ].

 

  • La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:

 
I(f, P) =  d j (x j - x j-1 )
donde d j es el ínfimo de f(x) en el intervalo [x j-1 , x j ].

 

 

Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser aplicada de forma práctica, pues es necesario conocer el ínfimo y el supremo sobre cualquier partición.

 

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